【摘要】在現(xiàn)有的一些財務管理書籍中，對流動資產(chǎn)投資管理最優(yōu)投資規(guī)模的確定存在描述錯誤，配圖普遍顯示最優(yōu)投資規(guī)模是持有成本曲線和短缺成本曲線的交叉點，有些書籍甚至認為最優(yōu)投資規(guī)模是以上兩種成本相等時的投資額。本文用數(shù)學方法對錯誤之處進行了解釋和說明，并提出了更正建議。
【關鍵詞】財務管理 流動資產(chǎn) 最優(yōu)投資規(guī)模
現(xiàn)代公司制度是企業(yè)的主要組織形式。隨著競爭加劇和環(huán)境動蕩，營運資本管理由于對企業(yè)盈利能力以及生存能力影響重大而受到越來越多的重視。然而，目前理論界對營運資本的關注不夠，在一些財務管理的書籍中對于流動資產(chǎn)管理中如何確定最優(yōu)投資規(guī)模存在表述不清晰甚至錯誤的問題，應當引起重視。
一、最優(yōu)投資規(guī)模存在的問題
營運資本管理包括投資和籌資兩個方面。營運資本投資管理也就是流動資產(chǎn)投資管理，其日常管理主要包括現(xiàn)金管理、應收賬款管理和存貨管理。
在銷售額和成本率不變的情況下，流動資產(chǎn)投資取決于流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)天數(shù)。安排較少的流動資產(chǎn)投資，可以縮短流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)天數(shù)，但可能會引發(fā)經(jīng)營中斷，增加短缺成本（交易成本、違約成本等）；安排較多的流動資產(chǎn)投資，可以延長流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)天數(shù)，但可能會出現(xiàn)閑置的流動資產(chǎn)，增加持有成本；只有短缺成本和持有成本之和最小時，是最優(yōu)投資。也就是說流動資產(chǎn)最優(yōu)的投資規(guī)模，取決于持有成本和短缺成本總計的最小化。
財務管理書在解釋最優(yōu)投資規(guī)模的時候會配一個圖（見圖1），直觀地表示持有成本曲線、短缺成本曲線和總成本曲線的關系，同時顯示最優(yōu)投資點的位置。
西南財經(jīng)大學出版社2006年出版的《財務管理》教材在配圖旁做了如下解釋：“持有成本線向右上方傾斜，短缺成本線向右下方傾斜，總成本線便是一條拋物線（閏書麗等，2006）。2013年版的注冊會計師“財務成本管理”教材認為：“企業(yè)持有成本隨投資規(guī)模而增加，短缺成本隨投資規(guī)模而減少，在兩者相等時達到最佳的投資規(guī)模。”
這個配圖和對應的文字解釋是存在問題的，它改變了原有的結(jié)論，用持有成本函數(shù)與短缺成本函數(shù)相等的投資量代替了持有成本函數(shù)一階導與短缺成本函數(shù)一階導相加等于0的投資量作為流動資產(chǎn)投資的最佳投資量。相對于邏輯解釋和數(shù)學推導，圖形更容易記憶和理解，數(shù)學基礎薄弱、不懂微積分理論的人更傾向于記憶結(jié)論，錯誤的配圖和結(jié)論就更加容易被記住，從而在工作中產(chǎn)生不良影響。
1. 持有成本曲線和短缺成本曲線相加不一定是拋物線。流動資產(chǎn)投資中有兩個成本：短缺成本和持有成本。其中短缺成本是指隨著流動資產(chǎn)投資水平降低而增加的成本。持有成本是指隨著流動資產(chǎn)投資上升而增加的成本。因此需要權衡得失，確定最佳投資規(guī)模。
令Q是流動資產(chǎn)投資量，短缺成本Y是流動資產(chǎn)投資量Q的減函數(shù)，記為Y（Q）；持有成本Z是流動資產(chǎn)投資量的增函數(shù)，記為Z（Q）。流動資產(chǎn)投資的總成本T是短缺成本和持有成本之和，即T（Q）=Y（Q）+Z（Q）。
持有成本函數(shù)可以表示為持有成本曲線，短缺成本函數(shù)可以表示為短缺成本曲線，兩條成本曲線進行縱向加總就是總成本曲線。如果把以上三種成本線放在一個圖上，可以直觀地找出最佳投資規(guī)模的點。
最佳流動資產(chǎn)投資金額是使得總成本線最低的點，如果總成本線是拋物線，那么該點很明確且唯一，就是拋物線的最低點，但問題是只有Y（Q）=1/Q-Q是減函數(shù)和Z（Q）是增函數(shù)這個條件并不能保證T（Q）是拋物線或總成本線呈倒U形。可以找到很多反例，如令Y（Q）是Q的減函數(shù)，Z（Q）-Q是Q的增函數(shù)，此時TQ=Y（Q）+Z（Q）=1/Q，是一段雙曲線而不是拋物線，見下頁圖2。2. 最優(yōu)投資規(guī)模不一定是持有成本曲線和短缺成本曲線的交點。如前所述，從總成本的角度考慮，使總成本最小的投資規(guī)模是最優(yōu)的，用數(shù)學建模表示就是求T（Q）的最小值，由于T（Q）是連續(xù)的，極小值點就是最小值點，根據(jù)微積分極值定理，極小值點是T（Q）一階導數(shù)等于０的Q0點。
T（Q0）=Y（Q0）+Z（Q0）=0，即短缺成本函數(shù)一階導數(shù)和持有成本函數(shù)一階導數(shù)相加等于0 的流動資產(chǎn)金額Q0是流動資產(chǎn)的最優(yōu)投資規(guī)模。Q0并不能使Y（Q0）=Z（Q0），得不出持有成本和短缺成本相等的點是最優(yōu)投資規(guī)模的結(jié)論。
二、持有成本和短缺成本交叉點是最優(yōu)投資規(guī)模的條件
那么在什么情況下，持有成本與短缺成本相等的流動資產(chǎn)金額是最佳投資規(guī)模？假設Q1是使短缺成本與持有成本相等的流動資產(chǎn)投資金額，如果Q1恰好滿足Y（Q0）+Z（Q0）=0，即流動資產(chǎn)金額是Q1時，短缺成本函數(shù)一階導數(shù)和持有成本函數(shù)一階導數(shù)相加等于0，此時，Q1是最優(yōu)投資規(guī)模。容易看出，這種情況只是一種特例，它對短缺成本函數(shù)和持有成本函數(shù)的形式產(chǎn)生了約束，要求短缺成本函數(shù)和持有成本函數(shù)在方程組（1）下存在非0解Q1。
Y（Q0）+Z（Q0）=0
Y（Q）=Z（Q）
通過這個微分方程組很難直接計算出滿足（1）式的Y（Q）和Z（Q）的解析解。營運資本日常管理中現(xiàn)金管理、存貨管理有對上述最優(yōu)投資規(guī)模的應用，分別是最佳現(xiàn)金持有量和存貨經(jīng)濟訂貨量。
現(xiàn)金管理中，廣泛使用的確定最佳現(xiàn)金持有量的鮑曼模型是由美國經(jīng)濟學家威廉·鮑曼（William Baumol）在1952年提出的，是將存貨經(jīng)濟進貨批量模型原理用于確定目標現(xiàn)金持有量的模型，也叫存貨模式。鮑曼模型恰好滿足方程組（1），根據(jù)鮑曼模型可以推導出一個滿足方程組（1）的Y（Q）和Z（Q）的一般解析解，如果持有成本函數(shù)和短缺成本函數(shù)符合一般解析解的形式條件，則持有成本曲線和短缺成本曲線的交叉點是最優(yōu)投資規(guī)模。
1. 鮑曼模型滿足條件。在鮑曼模型中，企業(yè)所需的現(xiàn)金可以通過證券變現(xiàn)取得，證券變現(xiàn)的成本（經(jīng)紀費用等）為現(xiàn)金轉(zhuǎn)換成本，持有現(xiàn)金產(chǎn)生的機會成本為現(xiàn)金持有成本。
現(xiàn)金管理總成本=現(xiàn)金持有成本+現(xiàn)金轉(zhuǎn)換成本
TC=Q/2×R+A/Q×F （2）
其中：TC是現(xiàn)金管理總成本，A是預算期現(xiàn)金需要總量，Q是最佳現(xiàn)金持有量，R是有價證券利率或報酬率，F(xiàn)是平均每次證券變現(xiàn)的成本。
現(xiàn)金持有成本函數(shù)為Z（Q）=A/Q×R，現(xiàn)金轉(zhuǎn)換成本函數(shù)為Y（Q）=Q/2×R，分別對它們求一階導數(shù)Y（Q）=Q/2，Z（Q）=-AF/Q2。由Y（Q）=Z（Q）解得：Q1= 。由Y（Q）=Z（Q）解得：Q1= 。所以當Y（Q）=Q/2×R，Z（Q）=A/Q×R時，方程組（1）有解Q1。此時現(xiàn)金持有成本和現(xiàn)金轉(zhuǎn)換成本相等（或者說現(xiàn)金持有成本曲線和現(xiàn)金轉(zhuǎn)換成本曲線交叉點）的現(xiàn)金持有量，即是總成本最低的最佳現(xiàn)金持有量。
2. 滿足條件的一個一般解析解。根據(jù)鮑曼模型，一般令Y（Q）=Q×φ，Z（Q）=1/Q×δ，其中φ、δ為其他非Q變量組成的函數(shù)，可以得到方程組（1）的一個一般解析解。φ、δ取不同的函數(shù)形式可以得到不同的Y（Q）和Z（Q）。如鮑曼模型中φ=R/2，δ=AF。可以驗證“Y（Q）=Q×φ，Z（Q）=1/Q×δ”滿足方程組（1），存在Q1= ，所以它們是解析解。
3. 存貨決策中經(jīng)濟訂貨量模型不滿足條件。存貨決策中經(jīng)濟訂貨量模型中成本函數(shù)不符合上述解析解形式。存貨總成本的公式為：
TC=F1+[DQ]K+DU+F2+KC[Q2] （3）
儲存成本Y（Q）=F2+KC[Q2]，訂貨成本函數(shù)Z（Q）=F1+[DQ]K+DU。此處的Y（Q）和Z（Q）代入方程組（1）不存在Q1，所以儲存成本曲線和訂貨成本曲線的交叉點不是經(jīng)濟訂貨量。
三、結(jié)論和建議
從上面的分析我們可以得出，只有短缺成本函數(shù)Y（Q）和持有成本函數(shù)Z（Q）滿足一定的條件，這兩條成本曲線的交叉點才使得總成本最小，才滿足流動資產(chǎn)投資最優(yōu)化的條件。如果不滿足方程組（1）的條件，既不能說短缺成本曲線和持有成本曲線交叉點是使流動資產(chǎn)投資規(guī)模最優(yōu)的點，也不能說流動資產(chǎn)投資規(guī)模最優(yōu)點一定是短缺成本曲線和持有成本曲線的交叉點。用數(shù)學的語言說，短缺成本曲線和持有成本曲線交叉點的流動資產(chǎn)投資額既不是流動資產(chǎn)投資規(guī)模最優(yōu)的必要條件，也不是充分條件。
有鑒于此，筆者認為最優(yōu)投資規(guī)模圖形不應該采用鮑曼模型這種特殊情況，即使總成本曲線畫成拋物線，也不應該使其最低點對應持有成本曲線和短缺成本曲線的交叉點；如果采用圖1這種形式也應該在圖形說明中加以解釋。
主要參考文獻
1. 袁衛(wèi)秋，董秋萍.營運資本管理研究綜述.經(jīng)濟問題探索，2011；12
2. 閆書麗，宋靖，許世英.財務管理.成都:西南財經(jīng)大學出版社，2006
【作 者】
王 超
【作者單位】
（安徽大學經(jīng)濟學院 合肥 230601）
